শতকরা

১। কলার দাম ২০% ক‌মে যাওয়ায় ১২ টাকায় পূর্ব অ‌পেক্ষা ২ টি কলা বে‌শি পাওয়া গে‌লে বর্তমা‌নে এক‌টি কলার দাম কত টাকা? [35 BCS]
ক. ১.৫০
খ. ৩.০০
গ. ২.৫০
ঘ. ৪.০০
সমাধান :
পূ‌র্বের মূল্য = বর্তমান মূল্য ÷ (১০০- হ্রাস মূল্য)/১০০
= ১২ ÷ (১০০-২০)/১০০ টাকা
= ১২ ÷ ৮০/১০০ টাকা
= ১২×১০০/৮০
= ১৫ টাকা
২ টি কলার মূল্য (১৫-১২)=৩ টাকা
∴ ১টি কলার মূল্য ৩/২ = ১.৫ টাকা
স‌ঠিক উত্তর : ক. ১.৫০
২। ১৩(৩/৪)% এর সমান – [30 BCS]
ক. ১১/৮০
খ. ১১/২০
গ. ১/৯
ঘ. ১/৮
সমাধান :
১৩(৩/৪)%
= ৫৫/৪%
= ৫৫/৪ × ১/১০০
= ১১/৮০
স‌ঠিক উত্তর : ক. ১১/৮০
৩। Successive discount of 20% and 15% are equal to a single discount of – [29 BCS]
ক. 30%
খ. 32%
গ. 34%
ঘ. 35%
ম‌নে ক‌রি, বিক্রয় মূল্য = ১০০ টাকা
২০% ছা‌ড়ে বিক্রয় মূল্য = ১০০ – ১০০×২০%
= ১০০-২০
= ৮০ টাকা
অাবার, ১৫% ছা‌ড়ে বিক্রয়মূল্য = ৮০ – ৮০×১৫%
= ৮০-১২
= ৬৮ টাকা
সুতরাং সর্ব‌মোট ছাড় = ১০০-৬৮ টাকা
= ৩২ টাকা
স‌ঠিক উত্তর : খ. 32%
৪। 30% of 10% of which? [28 BCS]
ক. 30
খ. 60
গ. 30
ঘ. 600
সমাধান :
মনেক‌রি, সংখ্যা‌টি = ক
১০ এর ৩০% = ক এর ১০%
বা, ১০x৩০/১০০ =ক×১০/১০০
বা, ৩ = ক/১০
বা, ক = ৩০
স‌ঠিক উত্তর : গ. 30
৫। এক ব্যবসায়ী এক‌টি প‌ণ্যের মূল্য ২৫% বাড়া‌লো, অতঃপর ব‌র্ধিত মূল্য থে‌কে ২৫% কমা‌লো। সর্ব‌শেষ মূ‌ল্যের তুলনায় – [27 BCS]
ক. ৪৫% কমা‌নো হ‌য়ে‌ছে
খ. ৬.২৫% কমা‌নো হ‌য়ে‌ছে
গ. ৫% বাড়া‌নো হ‌য়ে‌ছে
ঘ. ৬.২৫% বাড়া‌নো হ‌য়ে‌ছে
সমাধান :
ধ‌রি, পণ্যের মূল্য = ১০০ টাকা
২৫% বাড়া‌নোর প‌রে = ১২৫ টাকা
ব‌র্ধিত মূল্য থে‌কে ২৫% কমা‌লে
১০০ টাকায় মূল্য ক‌মে ২৫ টাকা
১২৫ টাকায় মূল্য ক‌মে ২৫x১২৫/১০০ টাকা =
৩১.২৫ টাকা
∴ মূল্য ক‌মে‌ছে = (৩১.২৫-২৫)% = ৬.২৫%
স‌ঠিক উত্তর : খ. ৬.২৫%

সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর অনুক্রম এবং ধারা

অনুক্রম: কতকগু‌লো সংখ্যা বা রা‌শিকে একটি নি‌র্দিষ্ট নিয়মানুসা‌রে ধারাবাহ‌তক সাজা‌নো‌কে অনুক্রম বলে।
পদ: অনুক্রমের প্রতিটি সংখ্যা বা রাশিকে পদ ব‌লে।
ধারা: অনুক্রমের পদ বা সংখ্যাগুলোর সমষ্টিকে ধারা বলে।
সসীম বা শান্ত ধারা : কোন ধারার পদ সংখ্যা সসীম হলে তাকে সসীম বা সান্ত ধারা বলে।
অসীম ধারা : কোন ধারার পদ সংখ্যা অসীম হলে তাকে অসীম ধারা বলে।
সমান্তর ধারা : যে ধারায় কোন পদক্তোর পরবর্তী পদ থে‌কে বি‌য়োগ করলে একই সংখ্যা বা রাশি পাওয়া যায় তাকে সমান্তর ধারা বলে।
গু‌ণোত্তর ধারা : যে ধারার কোন প‌দের সা‌থে তার পরবর্তী প‌দের অনুপাত সর্বদাই সমান হয় তাকে গুণোত্তর ধারা বলে।

প্র‌য়োজনীয় সূত্রাবলি :

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা r তম পদ : প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হ‌লে, r তম পদ = a+(r-1)d
সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি : একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হ‌লে, তার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S = n{2a+(n-1)d}/2
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S = n(n+1)/2
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ব‌র্গের সমষ্টি, S = n(n+1)(2n+1)/6
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, S = {n(n+1)/2}^2
গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ বা r তম পদ : কোন ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে, r তম পদ = aq^(r-1)
গুণোত্তর ধারার n সখ্যক পদের সমষ্টি, S = a(1-q^n)/(1-q); যেখা‌নে q1

বিসিএস পরীক্ষায় অাসা প্র‌শ্নগুলোর সমাধান :

১। একটি গু‌ণোত্তর অনুক্র‌মের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হ‌লে, সাধারণ অনুপাত কত?
ক। 1/2
খ। – 1/2
গ। 1/4
ঘ। – 1/4 (Ans)
সমাধান : n তম পদ = aq^(n-1)
দ্বিতীয় পদ = aq^(2-1) = aq = -48
a = -48/q ~~~~~ (i)
অাবার, পঞ্চম পদ = aq^(5-1) = 3/4
বা, aq^4 = 3/4
বা, (-48/q)q^4=3/4
বা, -48 q^3 = 3/4
বা, q^3 = – 3/192
বা, q^3 = (-1/4)^3
বা, q = -1/4
অর্থাৎ সাধারণ অনুপাত – 1/4
২। 1^2+2^2+3^2+…..+x^2 এর মান কত?
ক। {x(x+1)(2x+1)}/6 (Ans)
খ। x(x+1)/2
গ। x
ঘ। {x(x+1)/2}^2
৩। 1^2+2^2+3^2+…..+50^2 = কত?
ক। 35725
খ। 42925 (Ans)
গ। 45500
ঘ। 47225
সমাধান: S = {n(n+1)(2n+1)}/6
= {50(50+1)(2×50+1)}/6
= 50x51x101/6
= 42925
৪। log2+log4+log8+ ….. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সম‌ষ্টি কত?
ক। 45log2
খ। 55log2 (Ans)
গ। 65log2
ঘ। 75log2
সমাধান: log2+log4+log8+ …..
= log2+log2^2+log2^3+ ….+log2^10
= 1log2+2log2+3log2+ …..+10log2
= (1+2+3+…….+10)log2
= {10(10+1)/2}log2
= 55log2
৫। 1+2+3+…..+99 =কত?
ক। 4650
খ। 4750
গ। 4850
ঘ। 4950 (Ans)
সমাধান : S = {n(n+1)/2}
= 99(99+1)/2
= 99×50
= 4959

সুদাসল

◆ আসল বা মূলধনঃ যে পরিমাণ টাকা গচ্ছিত রাখা হয় বা ধার দেওয়া হয় বা খাটানো হয়, তাকে আসল বা মুলধন বলে।
◆ সুদ বা মুনাফাঃ আসলের অতিরিক্ত যে টাকা ঋণদাতাকে দেওয়া হয়, তাকে সুদ বলে।
◆ সুদাসলঃ সুদ ও অাসলেরর টাকাকে একত্রে সুদাসল বলে। অর্থাৎ সুদাসল = সুদ + আসল।
◆ মুনাফা বা সুদের শ্রেণিবিভাগ:
মুনাফা বা সুদ সাধারণত দুই প্রকার। যথা :
ক. সরল মুনাফা বা সুদ
খ. চক্রবৃদ্ধি মুনাফা বা সুদ
◆ সরল সুদ বা মুনাফা: সুদের হিসাব যদি পুরো সময়ের জন্য সুষমভাবে করা হয়, তবে তাকে সরল সুদ বা মুনাফা বলে।
◆ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা বা সুদ : নির্দিষ্ট সময়ান্তে মুনাফা অাসলকে অাসল ধরে পরবর্তী পরবর্তী নির্দিষ্ট সময়ের জন্য তার উপর মুনাফা নির্ধারণ করা হলে ঐ মুনাফাকে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা বলে।
কৌশলগত সুত্র:
◆ সরল সুদ = (আসল x সুদের হার x সময়) / ১০০
◆ আসল = (১০০ x মোট সুদ) / (সুদের হার x সময়)
– অংকে সুদাসল দেয়া থাকলে,
◆ আসল = (১০০ x সুদাসল) / (সময় x হার + ১০০)
◆ সুদের হার = (১০০ x মোট সুদ) / (আসল x সময়)
◆ সময় = (১০০ x মোট সুদ) / (আসল x সুদের হার)
◆ চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে, সুদাসল = আসল (১ + সুদের হার/১০০)বছর
সর্টকাট ফর্মুলা:
◆ সরল মুনাফা নির্ণয়ের সূত্র:
I = Pnr
[এখানে, I = মুনাফা, P= অাসল, r = মুনাফার হার এবং n = সময়]
◆ যৌগিক বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফা নির্ণয়ের সূত্র:
➺ মুনাফা I = P{(1+r)^n – 1}
➺ মুনাফা অাসল C = P(1+r)^n
[এখানে, I = মুনাফা, P= অাসল, r = মুনাফার হার এবং n = সময়]
বিসিএস পরীক্ষার প্রশ্নোত্তর:
১। রকীব সাহেব ৩৭৩৮৯৯ টাকা ব্যাংকে রাখলেন। ১৫/২ বছর পর তিনি অাসল টাকার ৫/৪ অংশ সুদ পেলেন। ব্যাংকের সুদের হার কত? [33 BCS]
সমাধান: সুদ = ৩৭৩৮৯৯x৫/৪
= ৪৬৭৩৭৩.৭৫ টাকা
I = Pnr
বা, ৪৬৭৩৭৩.৭৫ = ৩৭৩৮৯৯x৭.৫xr
বা, r = ৪৬৭৩৭৩.৭৫/৩৭৩৮৯৯x৭.৫
বা, r = ১৬.৬৬%
উত্তর: ১৬.৬৬%
২। ৬% হারে নয় মাসে ১০০০০ টাকার উপর সুদ কত? [25 BCS]
সমাধান:
I=Pnr
বা, I = ১০০০০x৯/১২x০.০৬
বা, I = ৪৫০ টাকা
উত্তর: ৪৫০ টাকা
৩। বার্ষিক ৪.৫% সরল সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে? [20 BCS]
সমাধান:
I=Pnr
বা, ৮২৬ = Px৪x৪.৫
বা, P = ৮২৬/৪x ৪.৫
বা, P = ৭০০ টাকা
উত্তর: ৭০০ টাকা
৪। যদি ১ টাকা বিনিয়োগ করা হয় ৮% বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদে ৬ বছর শেষে মোট বিনিয়োগ হবে কত? [BRDB এর পল্লী উন্নয়ন কর্মকর্তা – ২০০৬]
সমাধান:
C = P(1+r)^n
= ১(১+০.০৮)^৬
= ১.০৮^৬
উত্তর: ১.০৮^৬
৫। বার্ষিক ১০% হারে বার্ষিক যৌগিক মুনাফায় ২০০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা কত? [ বাংলাদেশ ব্যাংক সহকারী পরিচালক ২০০১]
সমাধান:
C = P(1+r)^n
বা, C = ২০০০(১+০.১০/২)^২
বা, C = ২০০০x১.০৫^২
বা, C =২২০৫
মুনাফা I = ২২০৫-২০০০ = ২০৫ টাকা

পরিমাপের বিভিন্ন এককসমূহ

দৈর্ঘ্য পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ :
● দৈর্ঘ্য পরিমাপের একক – মিটার।
● ১০ মিলিমিটার = ১ সেন্টিমিটার
● ১০ সেন্টিমিটার = ১ ডেসিমিটার
● ১০ ডেসিমিটার = ১ মিটার
● ১০ মিটার = ১ ডেকামিটার
● ১০ ডেকামিটার = ১ হেক্টোমিটার
● ১০ হেক্টোমিটার = ১ কিলোমিটার
দৈর্ঘ্য পরিমাপের ব্রিটিশ পদ্ধতির এককসমুহ :
● ১২ ইঞ্চি = ১ ফুট
● ৩ ফুট = ১ গজ
● ১৭৬০ গজ = ১ মাইল
দৈর্ঘ্য পরিমাপের মেট্রিক পদ্ধতি ও ব্রিটিশ পদ্ধতির সম্পর্ক
● ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
● ১ কিলোমিটার = ০.৬২ মাইল
● ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সেন্টিমিটার
● ১ গজ = ০.৯১৪৪ মিটার
● ১ মাইল = ১.৬ কিলোমিটার।
ভর পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ :
● ভর পরিমাপের মূল একক : গ্রাম
● ১০ মিলিগ্রাম।= ১ সেন্টিগ্রাম
● ১০ সেন্টিগ্রাম = ১ ডেসিগ্রাম
● ১০ ডেসিগ্রাম = ১ গ্রাম
● ১০ গ্রাম = ১ ডেকাগ্রাম
● ১০ ডেকাগ্রাম = ১ হেক্টোগ্রাম
● ১০ হেক্টোগ্রাম = ১ কিলোগ্রাম
● ১০০ কিলোগ্রাম = ১ কুইন্টাল
● ১০০০ কিলোগ্রাম = ১ মেট্রিকটন
● ১০ কুইন্টাল = ১ মেট্রিকটন।
তরল পদার্থের অায়তনের পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ :
● ১০ মিলিলিটার = ১ সেন্টিলিটার
● ১০ সেন্টিলিটার = ১ ডেসিলিটার
● ১ ডেসিলিটার = ১ লিটার
● ১০ লিটার = ১ ডেকালিটার
● ১০ ডেকালিটার = ১ হেক্টোলিটার
● ১০ হেক্টোলিটার = ১ কিলোলিটার
ক্ষেত্রফল পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ :
● ভূমির পরিমাপের মূল একক : বর্গমিটার
● ১০০ বর্গ মিলিমিটার = ১ বর্গ সেন্টিমিটার
● ১০০ বর্গসেন্টিমিটার = ১ বর্গডেসিমিটার
● ১০০ বর্গ ডেসিমিটার = ১ বর্গ মিটার
● ১০০ বর্গ মিটার = ১ বর্গ ডেকামিটার (১ এয়র)
● ১০০ বর্গ ডেকামিটার = ১ বর্গ হেক্টোমিটার (১ হেক্টর)
● ১০০ বর্গ হেক্টোমিটার = ১ বর্গকিলোমিটার
ক্ষেত্রফল পরিমাপের বিট্রিশ একক সমুহ :
● ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি = ১ বর্গফুট
● ৯ বর্গ ফুট = ১ বর্গগজ
● ৪৮৪০ বর্গগজ = ১ একর
● ১০০ শতক (ডেসিমেল) = ১ একর
ক্ষেত্রফল পরিমাপের দেশীয় এককসমূহ :
● ১ বর্গহাত = ১ গণ্ডা
● ২০ গণ্ডা = ১ ছটাক
● ১৬ ছটাক = ১ কাঠা
● ২০ কাঠা = ১ বিঘা
ক্ষেত্রফল পরিমাপেরমেট্রিক ও বিট্রিশ পদ্ধতির সম্পর্ক :
● ১ বর্গসেন্টিমিটার = ০.১৬ বর্গ ইঞ্চি
● ১ বর্গ মিটার = ১০.৭৬ বর্গফুট
● ১ হেক্টর = ২.৪৭ একর
● ১ বর্গ ইঞ্চি = ৬.৪৫ বর্গ সেন্টিমিটার
● ১ বর্গফুট = ৯২৯ বর্গসেন্টিমটার।
● ১ বর্গগজ = ০.৮৪ বর্গ মিটার
● ১ বর্গমাইল = ৬৪০ একর
ক্ষেত্রফল পরিমাপের মেটিক, ব্রিটিশ ও দেশীয় এককের সম্পর্ক :
● ১ বর্গ হাত = ৩২৪ বর্গইঞ্চি
● ৪ বর্গহাত বা ৪ গন্ডা = ৯ বর্গফুট = ০.৮৪ বর্গমিটার
● ১ কাঠা = ৭২০ বর্গফুট = ৮০ বর্গগজ = ৬৬.৮৯ বর্গমিটার।
● ১ বিঘা = ১৬০০ বর্গগজ = ১৩৩৭.৮ বর্গমিটার
● ১ একর = ৩ বিঘা৮ ছটাক = ৪০৪৬.২৪ বর্গমিটার
● ১ শতক = ৪৩৫.৬ বর্গফুট = ১০০০ বর্গ কড়ি
● ১ বর্গমাইল = ১৯৩৬ বিঘা
অায়তন পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ :
● ১০০০ ঘনসেন্টিমিটার = ১ ঘন ডেসিমিটার
● ১০০০ ঘন ডেসিমিটার = ১ ঘনমিটার
● ১০ ঘন মিটার = ১ ঘন স্টেয়র
● ১০ ঘন স্টেয়র = ১ ডেকাস্টেয়র
অায়তন পরিমাপে মেট্রিক ও ব্রিটিশ এককের সম্পর্ক :
● ১ স্টেয়র = ৩৫.৩ ঘনফুট
● ১ ডেকাস্টেয়র = ১৩.০৮ ঘনগজ

নৌকা ও স্রোতের বেগ বিষয়ক সমস্যা

১। স্থির পানিতে একটি নৌকার গতিবেগ ঘন্টায় ৭ কিলোমিটার। এরূপ নৌকায় স্রোতের অনুকূলে ৩৩ কিলোমিটার পথ যেতে ৩ ঘন্টা সময় লেগেছে। ফিরে অাসার সময় নৌকাটির কত সময় লাগবে?
ক। ১৩ ঘন্টা
খ। ১১ ঘন্টা
গ। ১০ ঘন্টা
ঘ। ৯ ঘন্টা
সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ = ৩৩/৩ কিমি/ঘন্টা = ১১ কিমি/ঘন্টা
স্রোতের গতিবেগ = ১১-৭ = ৪ কিমি/ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = ৭-৪=৩ কিমি/ঘন্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে অাসতে সময় লাগবে = ৩৩/৩ =১১ ঘন্টা
∴ সঠিক উত্তর: খ। ১১ ঘন্টা
২। লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘন্টায় ১৮ কিমি ও ৬ কিমি। নদীপথে ৪৮ কিমি অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে অাসতে সময় লাগবে –
ক। ১০ ঘন্টা
খ। ৯ ঘন্টা
গ। ৮ ঘন্টা
ঘ। ৬ ঘন্টা
সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের কার্যকরী গতিবেগ = ১৮+৬=২৪ কিমি/ঘন্টা
স্রোতের অনুকূলে ২৪ কিমি যায় ১ঘন্টায়
গেলে ৪৮ কিমি যায় ৪৮/২৪=২ ঘন্টায়
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের কার্যকরী গতিবেগ =১৮-৬=১২ কিমি/ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে ১২ কিমি যায় ১ ঘন্টায় তাহলে ৪৮ কিমি যায় =৪৮/১২=৪ ঘন্টায়
∴ মোট প্রয়োজনীয় সময় = ৪+২=৬ ঘন্টা
∴ সঠিক উত্তর: ঘ। ৬ ঘন্টা
৩। একজন মাঝি স্রোতের অনূকূলে ২ ঘন্টায় ৫ মাইল যায় এবং ৪ ঘন্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে অাসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড়বেগ কত?
ক। ৫/৬
খ। ৫/৩
গ। ১৫/৮
ঘ। ১৫/৪
সমাধান:
মোট সময়: ২+৪ =৬ ঘন্টা
মোট দূরত্ব = ৫+৫=১০ মাইল
∴ গড় বেগ = ১০/৬ = ৫/৩
∴ সঠিক উত্তর: খ। ৫/৩
৪। নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫ কিমি। নদী পথে ৪৫ কিমি দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে অাসতে কত ঘন্টা সসয় লাগবে?
ক। ৯ ঘন্টা
খ। ১২ ঘন্টা
গ। ১০ ঘন্টা
ঘ। ১৮ ঘন্টা
সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ ঘন্টায় ১৫ কিমি
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ ঘন্টায় =৫ কিমি
৪৫ কিমি অতিক্রম করতে সময় লাগে =৪৫/১৫=৩ ঘন্টা
৪৫ কিমি ফিরে অাসতে সময় লাগে = ৪৫/৫=৯ ঘন্টা
∴ মোট সময় লাগে = ৩+৯=১২ ঘন্টা
∴ সঠিক উত্তর: খ। ১২ ঘন্টা
৫। লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১৬ কিমি ও ৪ কিমি। নদীপথে ৩০ কিমি অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে অাসতে সময় লাগে –
ক। ৭/২ ঘন্টা
খ। ৪ ঘন্টা
গ। ৯/২ ঘন্টা
ঘ। ৫ ঘন্টা
সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে কার্যকরী বেগ =১৬+৪=২০কিমি
স্রোতের অনুকূলে ২০ কিমি যায়র১ ঘন্টায় তাহলে ৩০ কিমি যায় ৩০/২০=৩/২ ঘন্টায়
অাবার, স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের কার্যকরী বেগ = ১৬-৪=১২কিমি
স্রোতের প্রতিকূলে ১২ কিমি যায় =১ঘন্টায় তাহলে ৩০ কিমি যায় =৩০/১২=৫/২ ঘন্টায়
∴ মোট প্রয়োজনীয় সময় = (৩/২+৫/২)=৪ ঘন্টা
∴ সঠিক উত্তর: খ। ৪ ঘন্টা
.
৬। স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ১২ ঘন্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে –
ক। ৬ ঘন্টা
খ। ৮ ঘন্টা
গ। ১০ ঘন্টা
ঘ। ৪ ঘন্টা
সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে ক ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে =২ক ঘন্টা
প্রশ্নমতে,
ক+২ক=১২
বা, ৩ক=১২
বা, ক=৪
∴ সঠিক উত্তর: ঘ। ৪ ঘন্টা
৭। দাঁড় বেয়ে একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় যায় ১৫ কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে যায় ঘন্টায় ৫ কিমি। স্রোতের বেগ নির্ণয় কর।
ক। ঘন্টায় ১০ কিমি
খ। ঘন্টায় ৪ কিমি
গ। ঘন্টায় ৭ কিমি
ঘ। ঘন্টায় ৫ কিমি
সমাধান:
নৌকার বেগ+স্রোতের বেগ=১৫
নৌকার বেগ-স্রোতের বেগ=৫
-_________-______________
২xস্রোতের বেগ=১০
∴ স্রোতের বেগ=১০/২=৫কিমি/
ঘন্টা
∴ সঠিক উত্তর: ঘ। ঘন্টায় ৫ কিমি

বাস্তব সংখ্যা

১। কোন সংখ্যার ০.১ ভাগ এবং ০.১ ভাগের, সংখ্যাটি কত?
ক। ১০
খ। ৯
গ। ৯০
ঘ। ১০০
সমাধান: ধরি, সংখ্যাটি = ক
এখানে, ০.১` = ১/৯ এবং ০.১ =১/১০
প্রশ্নমতে, ক/৯ – ক/১০ =১
বা, (১০ক-৯ক)/৯০=১
বা, ক =৯০
সঠিক উত্তর: গ। ৯০
২। পরস্পর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে –
ক। ৯
খ। ১২
গ। ১৪
ঘ। ১৫
সমাধান: গুণফল = ৪x৫x৬=১২০
যোগফল = ৪+৫+৬=১৫
সঠিক উত্তর : ঘ। ১৫
৩। x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?
ক। x+y+1
খ। xy
গ। xy+2
ঘ। x+y
সঠিক উত্তর: ঘ। x+y
৪। ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অংকের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল –
ক। ৩১৪৭
খ। ২২৮৭
গ। ২৯৮৭
ঘ। ২১৮৭
সমাধান: বৃহত্তম সংখ্যা ৩২১০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩
বিয়োগফল = ৩২১০-১০২৩ = ২১৮৭
সঠিক উত্তর: ঘ। ২১৮৭
৫। কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
ক। ৯১
খ। ৮৭
গ। ৬৩
ঘ। ৫৯
সঠিক উত্তর: ঘ। ৫৯
৫। একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ক। ৩৪০
খ। ৩৪১
গ। ৩৪২
ঘ। ৩৪৪
সমাধান: ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে, ক-৩০১==৩৮১-ক
বা, ২ক=৬৮২
বা, ক = ৩৪১
সঠিক উত্তর: খ। ৩৪১
৭। ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত সে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ তাদের সমষ্টি কত?
ক। ১৪৬
খ। ৯৯
গ। ১০৫
ঘ। ১০৭
সমাধান: ১৯+২৯+৫৯=১০৭
৮। পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?
ক। ৯
খ। ১০
গ। ১
ঘ। -১
সমাধান : ১০০০০-৯৯৯৯=১
৯। ১.১,. ০১,. ০০১১ এর সমষ্টি কত?
ক। ০.০১১১১
খ। ১.১১১১
গ। ১১.১১০১
ঘ। ১.১০১১১
সমাধান: ১.১+.০১+.০০১১=১.১১১১
সঠিক উত্তর: খ। ১.১১১১
১০। ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে –
ক। ৮
খ। ১২
গ। ১৮
ঘ। ১৪০
সমাধান: ৭৯ – ৬১=১৮
১১। ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা –
ক। ৫
খ। ৩
গ। ৭
ঘ। ৪
সঠিক উত্তর: ঘ। ৪
১২। যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে –
ক। একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ। একটি পূর্ণ সংখ্যা
গ। একটি মুলদ সংখ্যা
ঘ। একটি অমুলদ সংখ্যা
সঠিক উত্তর : ঘ। একটি অমুলদ সংখ্যা
১৩। ৭২ সংখ্যাটির কতটি ভাজক অাছে?
ক। ৯
খ। ১০
গ। ১১
ঘ। ১২
সঠিক উত্তর: ঘ। ১২ টি
১৪। √২ সংখ্যাটি কি সংখ্যা?
ক। একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ। একটি পূর্ণ সংখ্যা
গ। একটি মুলদ সংখ্যা
ঘ। একটি অমুলদ সংখ্যা
সঠিক উত্তর : ঘ। একটি অমুলদ সংখ্যা
১৫। ২ এবং ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
ক। ১১ টি
খ। ৯ টি
গ। ৮ টি
ঘ। ১০ টি
সঠিক উত্তর: ঘ। ১০ টি
❂ একটি ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র অাছে। তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কতজন উভয়টিই খেলে?
ক। ৩ জন
খ। ৫ জন
গ। ৭ জন
ঘ। ১০ জন
সমাধান:
শুধু ফুটবল খেলে না= ৩০-১৮-৫=৭ জন
শুধু ক্রিকেট খেলে না = (৩০-১৪-৫)=১১ জন।
শুধু ফুটবল শুধু ক্রিকেট ও কোন খেলা খেলে না = (৭+১১+৫)=২৩ জন
উভয় খেলা খেলে = (৩০-২৩)=৭ জন।
সঠিক উত্তর: গ। ৭ জন।
————————————-
❂ ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য?
ক। ২৪
খ। ২৩
গ। ২২
ঘ। ২১
সমাধান:
৯৬÷৪=২৪ এবং ১২÷৪=৩
ভাগফলদ্বয়ের অন্তর = ২৪-৩=২১
৪ দ্বারা বিভাজ্য মোট সংখ্যা অাছে = ২১+১=২২ টি
সঠিক উত্তর হবে গ। ২২
————————————
❂ কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে?
ক। ১৬
খ। ২৫
গ। ৩৬
ঘ। ৯
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে, √ক+১০=৪^২
বা, √ক=১৬-১০
বা, ক=৬^২
বা, ক=৩৬
সঠিক উত্তর হবে গ। ৩৬
————————————
❂ কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ১০২ ও ১৮৬ কে ভাগ করলে প্রত্যকবার ৬ অবশিষ্ট থাকে।
ক। ১৬
খ। ১৫
গ। ১২
ঘ। ২২
সমাধান :
১০২-৬=৯৬ ও ১৮৬-৬=১৮০
৯৬ ও ১৮০ এর গসাগু-ই হবে বৃহত্তম সংখ্যা। ৯৬ ও ১৮০ এর গসাগু ১২।
সঠিক উত্তর হবে গ। ১২
————————————
❂ একটি শ্রণীতে যতজন ছাত্র অাছে প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। মোট ছাত্রসংখ্যা কত?
ক। ৭৫
খ। ৯১
গ। ৯২
ঘ। ৮১
সমাধান:
ধরি, ছাত্রসংখ্যা ক জন
১ জন ছাত্র চাদা দেয় ক টাকা
ক জন টাকা দেয় =কxক= ক^২ টাকা
প্রশ্নমতে,
ক^২ =৬৫৬১
বা, ক = ৮১
সঠিক উত্তর হবে ঘ। ৮১
————————————-
❂ ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত কতটি কয়টি মৌলিক সংখ্যা অাছে?
ক। ৮ টি
খ। ৯ টি
গ। ১০ টি
ঘ। ১১ টি
সমাধান: DD BBC BBC BA
১-১০ পর্যন্ত Dটি = ৪টি
১১-২০ পর্যন্ত Dটি =৪টি
২১-৩০ পর্যন্ত Bটি = ২টি
৩১ মৌলিক সংখ্যা = ১ টি
অর্থাৎ ১-৩১ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা অাছে (৪+৪+২+১)=১১ টি।
সঠিক উত্তর: ঘ। ১১টি
————————————
❂ ০.০১x০.০২ = কত?
ক। ০.০০২
খ। ০.০০০২
গ। ০.০০০০২
ঘ। ০.০০০০০২
সঠিক উত্তর: খ। ০.০০০২
————————————
❂ (০.০০২)²= কত?
ক। ০.০০৪
খ। ০.০০০৪
গ। ০.০০০০৪
ঘ। ০.০০০০০৪
সমাধান: (০.০০২)² = ০.০০২x ০.০০২
= ০.০০০০০৪
সঠিক উত্তর: ঘ। ০.০০০০০৪
————————————
❂ দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল ৩৭ এবং যোগফল বিয়োগফলের ১১ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?
ক। ২০, ৫৭
খ। ১৯, ৫৬
গ। ১৮৫, ২২২
ঘ। ১৭০, ২০৭
সমাধান:
মনেকরি, সংখ্যাদ্বয় ক ও খ
ক-খ=৩৭ ………(১)
প্রশ্নমতে,
ক+খ=১১(ক-খ)
বা, ক+খ=১১x৩৭
বা, ক+খ = ৪০৭ ………… (২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই,
২ক=৪৪৪
বা, ক= ২২২
ক এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, ২২২+খ =৪০৭
বা, খ= ১৮৫
সঠিক উত্তর: গ। ১৮৫, ২২২
————————————
❂ ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
ক। ০.১
খ। ০.০১
গ। ০.০০১
ঘ। ১
সঠিক উত্তর: খ। ০.০১
————————————
❂ একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?
ক। ২৪
খ। ২০
গ। ১৮
ঘ। ১৬
সমাধান: ধরি সংখ্যাটি =ক
প্রশ্নমতে, ২ক+৩ক=৯০
বা, ৫ক=৯০
বা, ক=১৮
সঠিক উত্তর: গ। ১৮
————————————
❂ নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
ক। ৩/৫
খ। ৪/১৫
গ। ৩/২০
ঘ। ৭/২৫
সমাধান: সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে যে ভগ্নাংশের লব বড় সে ভগ্নাংশই হবে বড় ভগ্নাংশ ৫, ১৫, ২০, ২৫ এর লসাগু ৩০০। সমহর ভগ্নাংশে,
৩/৫ এর লব ৩x৬০=১৮০
৪/১৫ এর লব ৪x২০=৮০
৩/২০ এর লব ৩x১৫=৪৫
৭/২৫ এর লব ৭x১২=৮৪
সঠিক উত্তর: ক। ৩/৫
————————————-
❂ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৪২ দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?
ক। ৫
খ। ৬
গ। ৭
ঘ। ৮
সমাধান: ৪২ ও ৪৯ এর গসাগু-ই হবে দ্বিতীয় সংখ্যা।
সুতরাং ৪২ ও ৪৯ এর গসাগু ৭।
সঠিক উত্তর: গ। ৭
———————————
❂ নিচের কোনটি মোলিক সংখ্যা?
ক। ১৪৩
খ। ৯১
গ। ৪৭
ঘ। ৮৭
সঠিক উত্তর: গ। ৪৭
——————————
❂ কোন সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করে, যোগফলকে ৫ দিয়ে গুণ করে, গুণফলকে ৯ দিয়ে ভাগ করে, ভাগফল থেকে ৩ বিয়োগ করাতে বিয়োগফল ১২ হয়। সংখ্যাটি কত?
ক। ২০
খ। ১৮
গ। ২২
ঘ। ২৫
সমাধান:
মনেকরি, সংখ্যটি = ক
প্রশ্নমতে,
{(ক+৭) x৫÷৯}-৩=১২
বা, (৫ক+৩৫)/৯=১৫
বা, ৫ক+৩৫=১৩৫
বা, ৫ক =১০০
বা, ক= ২০
——————————–
❂ ২০৭৪০ সংখ্যক সৈন্যদের বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৪ জন অতিরিক্ত হয়। প্রথম সারিতে সৈন্য সংখ্যা কত ছিল?
ক। ১৪২ জন
খ। ১৪৪ জন
গ। ১২৬ জন
ঘ। ১৪০ জন
সমাধান: ২০৭৪০-৪=২০৭৩৬
__ ___
২০৭৩৬ |১৪৪
১
_____
২৪|১০৭
৯৬
_____
২৮৪| ১১৩৬
১১৩৬
_______
০
সঠিক উত্তর হবে : খ। ১৪৪ জন
——————————–
❂ কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সাথে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
ক। ১৮
খ। ২০
গ। ২২
ঘ। ২৪
সমাধান: ধরি, সংখ্যাটি = ক
ক/২+৬ =২ক-২১
বা, ক+১২ =৪ক-৪২
বা, ৩ক=৫৪
বা, ক=১৮
সঠিক উত্তর: ক। ১৮
❂ ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ তাদের সমষ্টি কত?
ক। ১৪৬
খ। ৯৯
গ। ১০৫
ঘ। ১০৭
সমাধান: ১৯+২৯+৫৯= ১০৭
সঠিক উত্তর: ঘ। ১০৭
❂ ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে —
ক। ৮
খ। ১২
গ। ১৮
ঘ। ১৪০
সমাধান: ৭৯-৬১=১৮
সঠিক উত্তর: গ। ১৮
❂ ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা –
ক। ৫
খ। ৩
গ। ৭
ঘ। ৪
সঠিক উত্তর: ৪ টি
❂ যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে √p –
ক। একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ। একটি পূর্ণসংখ্যা
গ। একটি মুলদ সংখ্যা
ঘ। একটি অমুলদ সংখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ। একটি অমুলদ সংখ্যা
❂ ৭২ সংখ্যটির মোট ভাজক অাছে –
ক। ৯ টি
খ। ১০ টি
গ। ১১ টি
ঘ। ১২ টি
সমাধান: ৭২ এর সকল উৎপাদকই হচ্ছে ভাজক। সুতরাং ৭২ এর ভাজকগুলো হলো = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২।
সঠিক উত্তর: ঘ। ১২ টি
❂ √২ সংখ্যাটি কি সংখ্যা?
ক। একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ। একটি পূর্ণ সংখ্যা
গ। একটি মুলদ সংখ্যা
ঘ। একটি অমুলদ সংখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ। একটি অমুলদ সংখ্যা
❂ নিচের কোন সংখ্যাটি √২ ও √৩ এর মধ্যবর্তী মুলদ সংখ্যা?
ক। ( √২+ √৩)/২
খ। ( √২x √৩)/২
গ। ১.৫
ঘ। ১.৮
সমাধান: √২=১.৪১ ও √৩ = ১.৭৩
√২ ও √৩ এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যাটি ১.৫
সঠিক উত্তর: গ। ১.৫
❂ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা অাছে?
ক। ১১ টি
খ। ৮ টি
গ। ১০ টি
ঘ। ৯ টি
সমাধান: ১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মনে রাখার সূত্র : DD BBC BBC BA
সুতরাং ১-৩০ পর্যন্ত মোট ৪ (D) + ৪(D) + ২(D) = ১০টি।
সঠিক উত্তর: গ। ১০ টি।
❂ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৭৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
ক। ৪০
খ। ৩৫
গ। ৪৫
ঘ। ১০০
সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি = ক এবং ছোট সংখ্যাটি = ক-১
প্রশ্নমতে, ক²-(ক-১)²=৭৯
বা, ক²-ক²+২ক-১=৭৯
বা, ২ক=৮০
বা, ক=৪০
সঠিক উত্তর: ক। ৪০
❂ ২, ৩ এবং ৪ দ্বারা তিন অংকের কতটি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
ক। ২ টি
খ। ৫ টি
গ। ৬ টি
ঘ। ৭ টি
সমাধান:
২, ৩ এবং ৪ দ্বারা তিন অংকের বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো: ২৪৩, ৪২৩
সঠিক উত্তর: ক। ২ টি
❂ ৩ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল কত?
ক। ৩৫
খ। ১৫
গ। ১০৫
ঘ। ৪২
সমাধান: ৩ থেকে ১০ পযন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো =৩, ৫ ও ৭।
∴ গুণফল = ৩x৫x৭=১০৫
সঠিক উত্তর : গ। ১০৫
❂ যদি n ও p অযুগ্ম সংখ্যা হয় তবে নিচের কোনটি অবশ্যই যুগ্ম হবে?
ক। n+p
খ। np
গ। np+2
ঘ। n+p+1
সঠিক উত্তর : ক। n+p
❂ নিচের কোন ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের অন্তর ৪৩?
ক। ২১, ২২
খ। ২২, ২৩
গ। ২৩, ২৪
ঘ। ২৪, ২৫
সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি = ক এবং ছোট সংখ্যাটি = ক-১
প্রশ্নমতে, ক²-(ক-১)²=৪৩
বা, ক²-ক²+২ক-১=৪৩
বা, ২ক=৪৪
বা, ক=২২
ছোট সংখ্যটি =২২-১=২১
সঠিক উত্তর: ক। ২১, ২২
❂ কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটির অপেক্ষা ৭ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?
ক। ৩
খ। ৪
গ। ৫
ঘ। ৬
সমাধান: ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে, ২ক+৩=ক+৭
বা, ক=৪
সঠিক উত্তর: খ। ৪
❂ একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশ। সংখ্যাটি কত?
ক। ৫২
খ। ৮৪
গ। ১০২
ঘ। ১৪২
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
ক/২ = ক/৩+১৭
বা, (৩ক-২ক)/৬=১৭
বা, ক=১০২
সঠিক উত্তর: গ। ১০২
❂ ৫ এর ৯৫ মধ্যে ৫ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কতটি?
ক। ৫ টি
খ। ৬ টি
গ। ১০ টি
ঘ। ১৮ টি
সমাধান:
৫ ও ৩ এর লসাগু = ১৫
∴ ৫ ও ৯৫ এর মধ্য ৫ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা
= ৫ ও ৯৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা
= ১৫ থেকে ৯০ এর মধ্য বিভাজ্য সংখ্যা
= (৯০-১৫)/৪ + ১
= ৫+১ = ৬ টি
সঠিক উত্তর: খ। ৬টি

ল.সা.গু ও গ.সা.গু

১। দুইটি সংখ্যার গসাগু ও লসাগু যথাক্রমে ২ ও ৩৬০ এতটি সংখ্যা ১০ হলে অপরটি কত?
ক। ৪৮
খ। ৫২
গ। ৬০
ঘ। ৭২
সমাধান: ধরি, অপর সংখ্যাটি = ক
অামারা জানি,
সংখ্যা দুইটির গুণফল = লসাগুxগসাগু
বা, কx১০=৩৬০x২
বা, ক=৩৬x২÷১০
বা, ক= ৭২
সঠিক উত্তর: ঘ। ৭২
২। কোন লঘিষ্ট সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ক। ৮৯
খ। ৭০
গ। ১৭০
ঘ। ১৪২
সমাধান:
১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু = ৭২
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭২- ২=৭০
সঠিক উত্তর: খ।৭০
৩। দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ এবং তাদের গসাগু ৪ হলে সংখ্যা দুটির লসাগু কত?
ক। ১০০
খ। ১২০
গ। ১৫০
ঘ। ১৮০
সমাধান: ধরি, সংখ্যা দুইটি ৫ক ও ৬ক
৫ক ও ৬ক এর গসাগু = ক
প্রশ্নমতে, ক=৪
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে = ৫x৪=২০ ও ৬x৪=২৪
এখন, ২০ ও ২৪ এর লসাগু = ১২০
সঠিক উত্তর: খ। ১২০
৪। কতগুলো ঘন্টা একসাথে বাজার ১০ সে, ১৫ সে, ২০ সে এবং ২৫ সে পরপর বাজতে থাকল। ঘন্টাগুলো কতক্ষণ পরপর অাবার একসাথে বাজবে?
ক। ১ মি ২০ সে
খ। ১ মি ৩০ সে
গ। ৩ মি
ঘ। ৫ মি
সমাধান:
১০, ১৫, ২০ এবং ২৫ এর লসাগু = ৩০০
ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে =৩০০/৬০ মিনিট = ৫ মিনিট
সঠিক উত্তর: ঘ। ৫ মি
৫। তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ট সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০, ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
ক। ৫
খ। ১০
গ।১৫
ঘ। ২০
সমাধান:
দুইটি সংখ্যারর গুণফল = লসাগুxগসাগু
লসাগুxগসাগু=৫x২x৩=৩০
তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০
বিয়োগ করতে হবে = ১০০-৩০x৩=১০
সঠিক উত্তর : খ। ১০

গণিতের প্রাথমিক ধারণা

★ গণিতের আদি ভূমি- মিশর, ভারতবর্ষ, ব্যাবিলন।
★ ‘০’ সংখ্যাটির জনক আর্য্যভট্ট।
★ ‘০’ সংখ্যাটির উৎপত্তি ভারতীয় উপমহাদেশে।
★ আর্যভট্ট হলেন পাটিগণিতের জনক।
★ বীজগণিতের জনক হলেন মু: ইবনে মুসা আল খাওয়ারিজমী।
★ জ্যামিতির জনক ইউক্লিড। তিনি ১৩ খন্ডের ‘The elements’ বইটি রচনা করেন।
★ বলবিদ্যার জনক নিউটন।
★ সেটতত্ত্বের জনক ফিলিপ ক্যান্টর।
★ গণিতে লগারিদমের জনক জন নেপিয়ার।
★ অংক দুই প্রকার: স্বার্থক অংক (১-৯) এবং সাহায্যকারী অংক (০)।
★ স্বার্থক অংকের ধারণা দেন আরবীয়রা (মিশর, ব্যাবিলন)।
★ ১-১০০ পর্যন্ত ২৫টি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়।
★ মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।
★ ০-১০ পর্যন্ত ৪টি, ১১-২০ পর্যন্ত ৪টি, ২১-৩০ পর্যন্ত ২টি, ৩১-৪০ পর্যন্ত ২টি, ৪১-৫০ পর্যন্ত ৩টি, ৫১-৬০ পর্যন্ত ২টি, ৬১-৭০ পর্যন্ত ২টি, ৭১-৮০ পর্যন্ত ৩টি, ৮১-৯০ পর্যন্ত ২টি, ৯১-১০০ পর্যন্ত ১টি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়।
★ বিভাজ্যতা নির্ণয়:
→ ২ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার শেষ অংক বা এককের অংক যদি জোড় সংখ্যা বা ০ হয়, তবে ঐ সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৬, ১০ ইত্যাদি।
→ ৩ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১২৩
→ ৪ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার শেষ দুটি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৭৪৫২৮।
→ ৫ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার শেষে ০ বা ৫ থাকলে ঐ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১০১১০।
→ ৬ দ্বারা বিভাজ্য:
সংখ্যাটি জোড় এবং অংকগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১২৫৪।
→ ৮ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার শেষ ৩টি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৮৫৭৮১২০।
→ ৯ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন- ৬৫৮৪৭৬।

জ্যামিতির প্রাথমিক ধারণা

● রেখা : বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
● সরলরেখা: একটি বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে পৌছাতে যদি কোন প্রকার দিকের পরিবর্তন না হয় তবে তাকে সরলরেখা বলে।
● সমান্তরাল রেখা: দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজাঢ রেখে চলতে থাকে তবে তাকে সমান্তরাল রেখা বলে।
● কোণ: দুটি রেখা তির্যকভাবে পরস্পরের সাথে মিলিত স্থলকে কোণ বলে।
● অন্তর্ভূক্ত কোণ: সমতলস্থ দুটি রেখার যদি একই প্রান্তবিন্দু থাকে এবং যদি তাদের ধারক রেখা একই না হয় তবে সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে উৎপন্ন কোনকে রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভূক্ত কোণ বলে।
● একান্তর কোণ: দুটি সমান্তরাল সরলরেখা অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ রকলে ছেদক রেখার বিপরীত পার্শ্বে সমান্তরাল রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে একান্তর কোণ বলে।
● অনুরুপ কোণ: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা পরস্পর ছেদ করলে ছেদক রেখার একই দিকে সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের অনুরুপ পার্শ্বে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে অনুরূপ কোণ বলে।
● সূক্ষকোণ : ৯০° এর চেয়ে কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
● সমকোণ: ৯০ ডিগ্রি কোণের সমান কোণকে সমকোণ বলে।
● স্থূলকোণ: ৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে বড় কিন্তু ১৮০ ডিগ্রি এরছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
● সরলকোণ: যে কোণ ১৮০ ডিগ্রি এর সমান তাকে সরলকোণ বলে।
● প্রবৃদ্ধ কোণ: ১৮০ ডিগ্রি এর চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
● পূরক কোণ: যদি দুটি কোণের পরিমাণ ৯০ ডিগ্রি হয় তবে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
● সম্পূরক কোণ: যদি দুটি কোণের পরিমাপ ১৮০ ডিগ্রি এর সমান হয় তবে একটি কোণকে অপর কোণের সম্পূরক কোণ বলে।
● সন্নিহিত কোণ: যদি দুটি কোণের একই শীর্ষ বিন্দু একটি সাধারণ বাহু থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত হয় তবে একটি কোণকে অপর কোণের সন্নিহিত কোণ বলে।
● বিপ্রতীপ কোণ: দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের যে কোন একটি কোণকে তার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
● ত্রিভূজ: তিনটি রেখাংশ দ্বারা অাবদ্ধ সীমারেখাকে ত্রিভূজ বলে।
● সূক্ষকোণী ত্রিভূজ : যে ত্রিভূজের তিনটি কোণই সূক্ষকোণ তাকে সূক্ষকোণী ত্রিভূজ বলে।
● যে ত্রিভূজের একটি কোণ স্থূলকোণ তাকে স্থূলকোণী ত্রিভূজ বলে।
● সমকোণী ত্রিভুজ: যে ত্রিভূজের একটি কোণ সমকোণ তাকে সমকোণী ত্রিভূজ বলে।
● অতিভূজ: সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে।
● অতিভূজ = ✓[(ভূমি)²+(উচ্চতা)²]
● সমবাহু ত্রিভূজ:
➺ তিনটি বাহু সমান
➺ তিনটি কোণ সমান
➺ প্রতিটি কোণের মান ৬০ ডিগ্রি
➺ সকল মধ্যমাই লম্ব।
➺ ক্ষেত্রফল= ✓3(এক বাহুর দৈর্ঘ্য)²/4
● সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ:
➺ দুটি বাহু সমান
➺ সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান
➺ সমান সমান বাহুর সাধারণ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমা ঐ বাহুর উপর লম্ব।
➺ ক্ষেত্রফল = ভূমি x✓[4(সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য)²-ভূমি²]/4
● বিষমবাহু ত্রিভূজ:
➺ তিন বাহুই পরস্পর অসমান
➺ ক্ষেত্রফল= ✓[অর্ধপরিসীমা(অ
র্ধপরিসীমা-১ম বাহু দৈর্ঘ্য)(অর্ধপরিসীমা-২য় বাহুর দৈর্ঘ্য)(অর্ধপরিসীমা-৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য)]
➺ অর্ধপরিসীমা = তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি/২

গণিতের বা ম্যাথ এর জন্য গুরুত্বপূর্ণ ১৪০টি ইংলিশ শব্দের বাংলা অর্থ

A
1) absolute – পরম
2) abstract number – শুদ্ধ সংখ্যা
3) addition – যোগ
4) algebra – বীজগণিত
5) aliquot part – একাংশ
6) approximate – আসন্ন, স্থূল
7) approximately – স্থূলতঃ, আসন্ন
8) approximate value – আসন্নমান
9) arithmetic – পাটিগণিত
10) arithmetic series – সমান্তর শ্রেণী
11) average – গড়
12) on an average – গড়ে
B
13) base (of logarithm) – নিধান
14) binomial – দ্বিপদ
15) by – ভাজিত
C
16) cardinal – অঙ্কবাচক
17) characteristic (of log) – পূর্ণক
18) coefficient – গুণক
19) combination – সমাবেশ
20) commensurable – প্রমেয়
21) complex – জটিল
22) compound – মিশ্র, যৌগিক
23) compound interest – চক্রবৃদ্ধি
24) concrete number – বদ্ধ সংখ্যা
25) constant – ধ্রুবক
26) co-ordinates – স্থানাংক
27) cube – ঘন, ঘনফল
28) cube root – ঘনমূল
29) cubic – ত্রিঘাত, ঘন
D
30) decimal – দশমিক
31) denominator – হর
32) difference – অন্তর
33) differential calculus – অন্তরকলন
34) digit – অঙ্ক
35) dimension – মাত্রা
36) dividend – ভাজ্য, লাভাংশ
37) division – ভাগ, হরণ
38) divisor – ভাজক
39) double rule of three – বহুরাশিক
40) duo-decimal – দ্বাদশিক
E
41) elimination – অপনয়ন
42) equation – সমীকরণ
43) equivalent – তুল্য, সমতুল্য
44) even – জোড়, যুগ্ম, সম
45) evolution – অবঘাতন
46) expansion – বিস্তৃতি
47) exponential theorem – সূচকসূত্র
48) expression – রাশি, রাশিমালা
F
49) factor – উৎপাদক
50) factorial – গৌণিক
51) formula – সূত্র
52) fraction – ভগ্নাংশ
53) function – অপেক্ষক
G
54) geometric series – গুণোত্তর শ্রেণী
55) graph – লেখ, লেখচিত্র, চিত্র
56) graphical – লৈখিক
H
57) harmonic series – বিপরীত শ্রেণী
58) highest common factor (HCF) – গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গসাগু)
59) homogeneous – সমমাত্র
I
60) identity – অবেদ
61) imaginary – কল্পিত
62) improper (fraction) – অপ্রকৃত
63) incommensurable – অমেয়
64) indeterminant – অনির্ণেয়
65) index – সূচক
66) infinite, infinity – অসীম, অনন্ত
67) integer – পূর্ণসংখ্যা
68) integral calculus – সমাকলন
69) into (×) – গুণিত
70) inverse ratio – ব্যস্ত অনুপাত
71) involution – উদ্ঘাতন
72) irrational – অমূলদ
L
73) logarithm – লগারিদম
74) lowest common multiple (LCM) – লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (লসাগু)
M
75) magnitude – মান, পরিমাণ
76) mantissa (of log.) – অংশক
77) maximum – চরম, বৃহত্তম
78) mean – মধ্যক, সমক
79) minimum – অবম, অল্পতম
80) minus – বিযুক্ত
81) mixed (fraction) – মিশ্র
82) multiple – গুণিতক
83) multiplicand – গুণ্য, গুণনীয়
84) multiplication – গুণন, পূরণ
85) multiplier – গূণক
N
86) negative – ঋণ, নেগেটিভ
87) number – সংখ্যা
88) numerator – লব
O
89) odd – বিজোড়, অযুগ্ম, বিষম
90) order – ক্রম
91) ordinal – পূরণবাচক
92) ordinate – কোটি
P
93) percent – শতকরা, প্রতিশত, শতাংশ
94) percentage – শতকরা হার
95) permutation – বিন্যাস
96) plus – যুক্ত
97) positive – ধন, পজিটিভ
98) power – ঘাত
99) practice – চলিত নিয়ম
100) present worth – বর্তমান মূল্য
101) prime – মৌলিক
102) product – গুণফল
103) progression – প্রগতি
104) proper (fraction) – প্রকৃত
105) proportion – সমানুপাত
Q
106) quadratic – দ্বিঘাত
107) quantity – রাশি
108) quotient – ভাগফল
R
109) rate – দর, হার
110) ratio – অনুপাত
111) rational – মূলদ
112) reciprocal – বিপরীত
113) recurring – আবৃত্ত
114) reduction – লঘুকরণ
115) remainder – অবশিষ্ট, বাকি, শেষ, ভাগশেষ
116) root – মূল
117) rule of three – ত্রৈরাশিক
S
118) series – শ্রেণী
119) side (of equation) – পক্ষ
120) sign – চিহ্ন
121) significant – সার্থক
122) simple – সরল
123) simplification – সরলীকরণ
124) simultaneous equation – সহসমীকরণ
125) solution – সমাধান
126) square – বর্গ, বর্গফল
127) square root – বর্গমূল
128) subtraction – বিয়োগ, ব্যবকলন
129) sum – যোগফল, সমষ্টি
130) surd – করণী
T
131) term – পদ, রাশি
U
132) uniform – সম
133) unit – একক
134) unitary method – ঐকিক নিয়ম
135) unknown quantity – অজ্ঞাত রাশি
V
136) value – মূল্য, মান
137) variable – চল
138) variation – ভেদ
139) vulgar (fraction) – সামান্য
Z
140) zero – শূন্য